sum_{k = 1}^{10} left( sin frac{2kpi}{11} + i | vedclass

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Question

(D) माना $S = \sum_{k=1}^{10} \left( \sin \frac{2k\pi}{11} + i\cos \frac{2k\pi}{11} \right)$.हम व्यंजक से $i$ को उभयनिष्ठ ले सकते हैं:$S = i \sum_{k=1

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$-i$

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(D) माना $S = \sum_{k=1}^{10} \left( \sin \frac{2k\pi}{11} + i\cos \frac{2k\pi}{11} ight)$.हम व्यंजक से $i$ को उभयनिष्ठ ले सकते हैं:$S = i \sum_{k=1}^{10} \left( \cos \frac{2k\pi}{11} - i \sin \frac{2k\pi}{11} ight)$.यूलर के सूत्र $e^{i	heta} = \cos 	heta + i \sin 	heta$ का उपयोग करते हुए,$\cos 	heta - i \sin 	heta = e^{-i	heta}$ प्राप्त होता है।अतः,$S = i \sum_{k=1}^{10} e^{-i \frac{2k\pi}{11}}$.माना $\omega = e^{-i \frac{2\pi}{11}}$. तब $S = i \sum_{k=1}^{10} \omega^k$.यह $10$ पदों की एक गुणोत्तर श्रेणी है: $\sum_{k=1}^{10} \omega^k = \omega + \omega^2 + \dots + \omega^{10}$.हम जानते हैं कि इकाई के $11$वें मूलों का योग $\sum_{k=0}^{10} \omega^k = 0$ होता है।इसलिए,$\sum_{k=1}^{10} \omega^k = -\omega^0 = -1$.इस मान को $S$ में प्रतिस्थापित करने पर:$S = i(-1) = -i$.

सूची-$I$ (व्यंजक)	सूची-$II$ (मान)
$A$. $\omega^{1010} + \omega^{2000}$	$I$. $0$
$B$. $(1 + \omega - \omega^2)(1 - \omega + \omega^2)$	$II$. $1$
$C$. $(2 + \omega^2 + \omega^4)^5$	$III$. $-1$
$D$. $(3 + 5\omega + 3\omega^2)^3$	$IV$. $4$
	$V$. $8$

$\sum_{k = 1}^{10} \left( \sin \frac{2k\pi}{11} + i\cos \frac{2k\pi}{11} \right)$ का मान क्या है?

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